Galois理論と正規底の定理：群環加群の代数構造、Galois対応の証明および計算例

証明:
背理法によって証明する。相異なる準同型 $\sigma_1, \dots, \sigma_m$ の間に非自明な線形従属関係が存在すると仮定する。そのような関係式の中で、非零の係数の個数が最小（これを $r$ とする）であるものを1つ選ぶ。適当に番号を付け替えることで、これを $$a_1 \sigma_1(x) + a_2 \sigma_2(x) + \dots + a_r \sigma_r(x) = 0 \quad (\text{すべての } x \in L) \quad \cdots (2.1)$$ とする。ここで $r \ge 1$ であり、各 $a_i \in E$ はすべて $0$ でない。
もし $r = 1$ ならば、 $a_1 \sigma_1(x) = 0$ である。 $x = 1$ を代入すると $\sigma_1(1) = 1 \neq 0$ より $a_1 = 0$ となり矛盾する。よって $r \ge 2$ である。
$\sigma_1$ と $\sigma_r$ は相異なる準同型であるから、ある $y \in L$ が存在して $\sigma_1(y) \neq \sigma_r(y)$ となる（体の準同型は $0$ を $0$ に送るため $y \neq 0$ である）。
任意に $x \in L$ をとる。式 (2.1) に $yx$ を代入すると、 $\sigma_i$ は体の準同型であるから $\sigma_i(yx) = \sigma_i(y)\sigma_i(x)$ となり、 $$a_1 \sigma_1(y)\sigma_1(x) + a_2 \sigma_2(y)\sigma_2(x) + \dots + a_r \sigma_r(y)\sigma_r(x) = 0 \quad \cdots (2.2)$$ が得られる。一方で、元の式 (2.1) の両辺に $\sigma_r(y) \in E$ を掛けると、 $$a_1 \sigma_r(y)\sigma_1(x) + a_2 \sigma_r(y)\sigma_2(x) + \dots + a_r \sigma_r(y)\sigma_r(x) = 0 \quad \cdots (2.3)$$ となる。式 (2.2) から式 (2.3) を引くと、第 $r$ 項が相殺されて $$a_1 (\sigma_1(y) - \sigma_r(y)) \sigma_1(x) + a_2 (\sigma_2(y) - \sigma_r(y)) \sigma_2(x) + \dots + a_{r-1} (\sigma_{r-1}(y) - \sigma_r(y)) \sigma_{r-1}(x) = 0$$ が得られる。これはすべての $x \in L$ に対して成立する。
ここで第1項の係数に着目すると、 $a_1 \neq 0$ かつ $\sigma_1(y) - \sigma_r(y) \neq 0$ であるため、 $a_1 (\sigma_1(y) - \sigma_r(y)) \neq 0$ である。これは長さが $r-1$ （ $1 \le r-1 < r$ ）の非自明な線形従属関係を意味し、 $r$ の最小性に矛盾する。したがって、相異なる準同型は常に線形独立である。（証明終）

補題 3.2 の証明:
体 $K$ 上の主理想整域 $K[X]$ 上の有限生成モジュールに関する構造定理（単因子論）を $V$ に適用する。 $V$ は $X \cdot v = T(v)$ により $K[X]$ 加群とみなせる。構造定理により、 $V$ は $$V \cong K[X]/(f_1(X)) \oplus K[X]/(f_2(X)) \oplus \dots \oplus K[X]/(f_k(X))$$ と分解される。ここで $f_1(X), \dots, f_k(X) \in K[X]$ はモニック多項式であり、 $f_1(X) \mid f_2(X) \mid \dots \mid f_k(X)$ を満たす。
この分解において、 $T$ の最小多項式は最大単因子 $f_k(X)$ に等しい。条件より最小多項式の次数は $n = \dim_K V$ であるから、 $\deg f_k(X) = n$ である。
一方、 $\dim_K V = \sum_{i=1}^k \deg f_i(X)$ である。 $\deg f_i(X) \ge 1$ かつ $\deg f_k(X) = n$ であることから、直和の項数は $k = 1$ でなければならない。
したがって、 $K[X]$ 加群として $V \cong K[X]/(f_k(X))$ である。この同型において $1 \bmod (f_k(X))$ に対応する $V$ の元を $v$ とおくと、 $\{ v, T(v), \dots, T^{n-1}(v) \}$ は $V$ の $K$ 上の基底を構成する。（証明終）

定理 3.1 の証明 (基礎体 $K$ が無限体の場合):
$n = [L : K] = |G|$ とする。 $G = \{ \sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n \}$ とし、 $\sigma_1 = \mathrm{id}$ （等同写像）とする。 $L$ の $K$ 上の任意の基底 $u_1, u_2, \dots, u_n$ を1つ固定する。
$n \times n$ 行列 $A = (\sigma_i(u_j))_{1 \le i, j \le n}$ を考える。この行列の行列式は非零、すなわち $\det A \neq 0$ である。なぜなら、もし $\det A = 0$ ならば、行ベクトルが線形従属となり、すべてが $0$ ではない $c_1, \dots, c_n \in L$ が存在して、すべての $j \ (1 \le j \le n)$ について $\sum_{i=1}^n c_i \sigma_i(u_j) = 0$ となる。任意の $x \in L$ は $x = \sum_{j=1}^n b_j u_j$ （ $b_j \in K$ ）と書けるため、 $$\sum_{i=1}^n c_i \sigma_i(x) = \sum_{i=1}^n c_i \sigma_i\left( \sum_{j=1}^n b_j u_j \right) = \sum_{j=1}^n b_j \left( \sum_{i=1}^n c_i \sigma_i(u_j) \right) = 0$$ となり、相異なる Galois 群の元の線形独立性（補題 2.1）に矛盾するからである。

次に、 $n$ 個の独立変数 $X_1, \dots, X_n$ に対し、行列 $M(X_1, \dots, X_n)$ の $(i, j)$ 成分を $$M(X_1, \dots, X_n)_{i, j} = \sigma_i \sigma_j^{-1} \left( \sum_{k=1}^n X_k u_k \right)$$ と定義する。その行列式 $P(X_1, \dots, X_n) = \det M(X_1, \dots, X_n)$ は $L[X_1, \dots, X_n]$ の元である。この多項式 $P$ が零多項式でないことを示す。

$A$ は正則行列であるから逆行列 $A^{-1} = (v_{k, j})_{1 \le k, j \le n} \in M_n(L)$ が存在する。定義より $\sum_{k=1}^n \sigma_i(u_k) v_{k, j} = \delta_{i, j}$ （Kroneckerのデルタ）である。ここで線形変数変換 $$X_k = \sum_{j=1}^n v_{k, j} Y_j \quad (1 \le k \le n)$$ を導入する。これを代入すると、 $$\sum_{k=1}^n X_k \sigma_i(u_k) = \sum_{k=1}^n \left( \sum_{j=1}^n v_{k, j} Y_j \right) \sigma_i(u_k) = \sum_{j=1}^n Y_j \left( \sum_{k=1}^n \sigma_i(u_k) v_{k, j} \right) = \sum_{j=1}^n Y_j \delta_{i, j} = Y_i$$ となる。特に $\sigma_1 = \mathrm{id}$ より $\sum_{k=1}^n X_k u_k = Y_1$ である。
$\sigma_i \sigma_j^{-1} \in G$ であるから、ある一意的な添字 $l \ (1 \le l \le n)$ が定まり $\sigma_i \sigma_j^{-1} = \sigma_l$ となる。したがって、変数変換後の行列の $(i, j)$ 成分は $$M_{i, j} = \sigma_l \left( \sum_{k=1}^n X_k u_k \right) = \sum_{k=1}^n X_k \sigma_l(u_k) = Y_l$$ となる。対角成分 ($i = j$) では $\sigma_i \sigma_i^{-1} = \mathrm{id} = \sigma_1$ より成分は常に $Y_1$ である。非対角成分 ($i \neq j$) では $\sigma_i \sigma_j^{-1} \neq \sigma_1$ より成分は $Y_1$ 以外の変数 $Y_l \ (l \neq 1)$ となる。

行列式の定義に従って展開すると、 $$\det M = \sum_{\pi \in S_n} \mathrm{sgn}(\pi) M_{1, \pi(1)} M_{2, \pi(2)} \dots M_{n, \pi(n)}$$ 恒等置換 $\pi = \mathrm{id}$ に対応する項は対角成分の積 $Y_1^n$ であり、その係数は $1$ である。 $\pi \neq \mathrm{id}$ である置換については、固定されない添字が少なくとも2つ存在するため、対応する項における $Y_1$ の次数は $n-2$ 以下である。したがって、 $\det M$ は $Y_1, \dots, Y_n$ の多項式として $Y_1^n$ の項をもち、零多項式ではない。変数変換が正則であるため、元の多項式 $P(X_1, \dots, X_n)$ も零多項式ではない。

$K$ は無限体であるため、零多項式でない多項式 $P \in L[X_1, \dots, X_n]$ が $K^n$ 上で恒等的に $0$ となることはない[cite: 1]。したがって、ある $c_1, \dots, c_n \in K$ が存在して $P(c_1, \dots, c_n) \neq 0$ となる。
$\alpha = \sum_{k=1}^n c_k u_k \in L$ とおく。このとき行列 $M(\alpha) = (\sigma_i \sigma_j^{-1}(\alpha))_{1 \le i, j \le n}$ は正則である。もし $\{ \sigma_j^{-1}(\alpha) \}_{1 \le j \le n}$ （これは $\{ \sigma(\alpha) \}_{\sigma \in G}$ と集合として一致する）が $K$ 上線形従属であれば、ある $a_1, \dots, a_n \in K$ （すべてが $0$ でない）が存在して $\sum_{j=1}^n a_j \sigma_j^{-1}(\alpha) = 0$ となる。各 $\sigma_i$ を作用させると $\sum_{j=1}^n a_j \sigma_i \sigma_j^{-1}(\alpha) = 0$ となり、行列 $M(\alpha)$ の列ベクトルが線形従属となって $\det M(\alpha) \neq 0$ に反する。
ゆえに $\{ \sigma(\alpha) \mid \sigma \in G \}$ は $K$ 上線形独立であり、要素数が $|G| = n$ であるから $L$ の $K$ 上の基底（正規底）を構成する。（証明終）

定理 3.1 の証明 (基礎体 $K$ が有限体の場合):
$K = \mathbb{F}_q$ とし、 $L = \mathbb{F}_{q^n}$ をその $n$ 次拡大体とする。有限体の理論より $L/K$ はGalois拡大であり、そのGalois群 $G = \mathrm{Gal}(L/K)$ は Frobenius 自己同型 $$\phi: L \to L, \quad x \mapsto x^q$$ によって生成される位数 $n$ の巡回群 $G = \langle \phi \rangle = \{ \mathrm{id}, \phi, \phi^2, \dots, \phi^{n-1} \}$ である。
群環 $K[G]$ は多項式環のイデアルによる商環 $K[X]/(X^n - 1)$ と同型である。したがって、 $L$ を $\phi$ の作用によって $K[X]$ 加群とみなす（ $X \cdot x = \phi(x) = x^q$ ）。

補題 2.1 (Dedekindの独立定理) より、相異なる自己同型 $\mathrm{id}, \phi, \phi^2, \dots, \phi^{n-1}$ は $K$ 上線形独立である。これは、 $n-1$ 次以下の任意の非零多項式 $g(X) \in K[X]$ に対して $g(\phi) \neq 0$ であることを意味する。したがって、線形変換 $\phi: L \to L$ の最小多項式 $m_\phi(X) \in K[X]$ の次数は $n$ 以上である。
一方、 $\phi^n = \mathrm{id}$ より $\phi^n - \mathrm{id} = 0$ であるから、最小多項式 $m_\phi(X)$ は $X^n - 1$ を割り切る。モニック多項式の次数の比較より、最小多項式は $$m_\phi(X) = X^n - 1$$ である。

最小多項式の次数が $\dim_K L = n$ に等しいため、補題 3.2 (巡回ベクトルの存在) より、ある $\alpha \in L$ が存在して、集合 $$\{ \alpha, \phi(\alpha), \phi^2(\alpha), \dots, \phi^{n-1}(\alpha) \}$$ は $L$ の $K$ 上の基底を構成する。これはまさに $G$ による $\alpha$ の軌道であり、 $\alpha$ は正規底を生成する。（証明終）

証明:
群環 $K[G]$ への $H$ の左作用を考える。 $h \in H$ と $v = \sum_{g \in G} a_g g \in K[G]$ に対し、 $h \cdot v = \sum_{g \in G} a_g (hg)$ である。この作用による固定部分空間を $(K[G])^H = \{ v \in K[G] \mid \forall h \in H, h \cdot v = v \}$ とする。

$G$ を $H$ の右剰余類 (right coset) に分解する。 $m = [G : H] = |G|/|H|$ とし、右剰余類の代表元を $g_1, g_2, \dots, g_m \in G$ とすると、 $$G = \coprod_{i=1}^m H g_i$$ と表される。元 $v = \sum_{g \in G} a_g g$ を剰余類ごとに整理すると、 $$v = \sum_{i=1}^m \sum_{h' \in H} a_{h' g_i} (h' g_i)$$ となる。任意の $h \in H$ を作用させると、 $h H = H$ より $$h \cdot v = \sum_{i=1}^m \sum_{h' \in H} a_{h' g_i} (h h' g_i)$$ これが常に $v$ と一致するための必要十分条件は、各剰余類 $H g_i$ 上で係数 $a_g$ が一定であること、すなわちすべての $h', h'' \in H$ に対して $a_{h' g_i} = a_{h'' g_i}$ が成り立つことである。
各剰余類 $H g_i$ 上の一定の係数を $c_i \in K$ と置くと、 $(K[G])^H$ の任意の元は $$v = \sum_{i=1}^m c_i \left( \sum_{h \in H} h g_i \right)$$ と一意に書ける。元 $\eta_i = \sum_{h \in H} h g_i \in K[G] \ (1 \le i \le m)$ を定義すると、 $\{ \eta_1, \eta_2, \dots, \eta_m \}$ は $(K[G])^H$ の $K$ 上の基底となる。したがって、 $$\dim_K (K[G])^H = m = [G : H] = \frac{|G|}{|H|}$$ である。

定理 3.1 (正規底の定理) より、正規底の生成元 $\alpha \in L$ が存在する。これを用いて定義される $K$ 線形写像 $$\Phi: K[G] \to L, \quad \sum_{g \in G} a_g g \mapsto \sum_{g \in G} a_g g(\alpha)$$ は、 $K[G]$ 加群としての全単射同型を与える[cite: 1]。 $\Phi$ は $G$ の作用と可換であるため、 $H$ による固定部分空間同士の同型 $(K[G])^H \cong L^H$ を誘導する。
よって、 $L^H$ の $K$ 上のベクトル空間の次元は $$[L^H : K] = \dim_K L^H = \dim_K (K[G])^H = \frac{|G|}{|H|}$$ である。拡大次数の連鎖律 $[L : K] = [L : L^H] [L^H : K]$ および $[L : K] = |G|$ を用いると、 $$[L : L^H] = \frac{[L : K]}{[L^H : K]} = \frac{|G|}{|G|/|H|} = |H|$$ が得られ、主張 1 が示された。

次に主張 2 を示す。 $L/K$ は Galois 拡大であるから、中間体拡大 $L/L^H$ も分離的かつ正規、すなわち Galois 拡大である。したがって $|\mathrm{Gal}(L/L^H)| = [L : L^H] = |H|$ である。
固定体の定義より明らかに $H \subset \mathrm{Gal}(L/L^H)$ である。有限群の包含関係において位数が等しいため、 $\mathrm{Gal}(L/L^H) = H$ が成り立つ。（証明終）